Tuesday, January 8, 2019

How to pick your better half


網誌:如何選擇你的另一半

            常常聽到的故事,是一個人走進稻田,在有限時間內,找最好的一株稻米。結果是往往失望,因為愈是找尋,愈會後悔沒立下決心,最終是沒拿到最好的。

            其實,是有答案、有最佳攻略的,我們不知道而已。

            這是一宗數學題 (別擔心,本文不是談數學)。類似情況是:擇偶、鬧市找車位、買樓租屋如何決定。譬如,自己訂下三年時間擇偶,期間要應約/約見多少對象,便要作出抉擇?唯一條件是不走回頭(如可以走回頭路,見下文)

為何中途便要做抉擇?因為如果堅持要見所有對象,初期的選擇還算容易,要做的只是如打擂臺,記下勝方作為選擇標準 (負方可以不理),如是繼續下去。但期限越近而仍未作出抉擇,碰上最佳拍檔的可能不以前的那麼好了找到理想對象的機率會越來越低。因為不能走回頭,後悔也沒用了。

這條問題,其實是如何找尋最大機會(機率),初時提出距今幾乎一個世紀,到上世紀1950/60年代已基本算出。

            答案是37%。如上述的三年期限例子,即找對象一年多一些後便要做抉擇,找到最好對象的機率最高。又如果目標不是三年期限,而是一百位對象,那麼你便要在應約/約見第37位後,便要選擇下一位優於所有以前碰過的對象。(如果對方拒,下文另有答案。)

     這答案聽起來令人有點沮喪:時限還未及一半、或約會對象人數未到一半,便要下決定。而且,成功率也只是37%,即有63% 機會找不到理想對象。但是,數學告訴我們這已是最佳策略、最少後悔了。往好處方面想,對象人數越多,找到最好歸宿便越渺茫。舉例,如果對象人數是100,隨機選擇的成功率是1%,可謂十分低;人數是1000,成功率便只得是0.1%,找到心中好非常渺茫。但37%策略成功率不變,仍是37%!想像一下,1000人你僅須赴約/約會370人後,便能決定選擇比所有之前遇到的更好的一位,節省了多少時間心血?

     另一角度看,37%策略容許一些前期資料搜集。因為初時可能還未知道自己的要求,經約會數次數十次之後,才可在不同人身上找出適合自己的素質,方能在心中形成一些作為心上人的標準。

     上文提及一些變奏,例如容許「回頭看」。這情景原來早已發生在17世紀偉大科學家開普拉(Johannes Kepler)身上。1611年他喪偶,隨後便踏上尋伴的長路。到他約會了第5位女士,已覺得她十分適合。可是他科學家上身,誓要竭盡所有機會探索,結果總共見了11人,但都沒有比她好。於是回頭向她求婚,對方也不介懷,欣然接受。傳記他們婚姻美滿生下六名子女。

開普拉的例子,可用上文的數學方法處理。(對不起,此處開始由於社會局限下兩性依然不平等,唯有以男士觀點出發!) 須設兩個假定,一是如果遇上適合對象便立即求婚,對方一定答應;二是如果回頭才求婚,對方答應機會是50/50。那麼,數學告訴我們,最佳策略是61%

另一個變奏是,提婚後對方可以拒絕。假定拒的機會是50/50,用同樣的數學方法處理,答案是25%。即尋找過程進行四分之一後,遇上適合的對象便求婚,直至有人接受求婚為止。

總結,37% 完全是反直覺,但又是最好的。世事就是那麼奇怪。幸運的是,數理往往能提供理性、實用的出路。        



9-1-2018

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參考:B. Christian and T. Griffiths, Algorithms to live by, William Collins, 2016.

Tuesday, December 18, 2018

One million


網誌:一百萬

            剛好,建制議員指電訊科技公司高層在外國被扣留,違反人權。(其實,該電訊科技公司並不屬本地,跟香港有何直接關係?)

     當然,議員們沒有提及另一角落的一百萬人。

     對,一百萬,消息源自一份本年七月遞交聯合國的報告,官方至今未有回應,當然也無承認或否認。

這一百萬人,失去了自由,接受再教育。

一百萬,在該處該族人中,佔9%(該族人佔該處地方人口百分之四十多。)

9%,是多少?要多些感覺,我們可以參考英國心理學家Robin Dunbar的研究結果,這結果在世界多處地方驗證過。人們不時Dunbar number,是150。是指每個人的社交圈子的最大數,包括親朋戚友、鄰居、同事,也包括知悉他們名字、有社交接觸的人,而非泛泛之輩。

150這數字富代表性。你的親友圈子,數目如超出此數字許多,你會應付不了。

150中的9%,是13

切身處地想像一下,友輩之中有13人失去人身自由。13人,你的反應會是什麼?



如果13人是恐怖分子,又如何?世界上只有一處地方有如此數目的恐怖分子 --- 伊斯蘭國。

過時過節、喜慶日子,我們都可以一家相聚。但這一百萬人看來沒什機會一家團聚,除非全家都在營裡。

那麼,為何噤聲?事不關己?眼不見為淨?

他們不也是同胞?我們沒有切膚之痛?

抑或是幾經鎮壓之後,失去了判斷?麻木了?放棄了殘留的言論自由?望、心死了?

起碼要做的是要求提高透明度,提供詳細資訊。



19-12-2018

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Thursday, December 13, 2018

Unsung genius


網誌:異彩科學

        近一、兩年政府治港,採取的做法是強權、不講理、不理民意、行事不透明、以不對稱的法律實力對付反對者。溫水煮蛙,部分人可能不察覺,但比較董政府年代,現在是大倒退。那時政府仍忌憚民意調,故董派人試圖影響港大,卒之導致校長辭職。回想,原來那些年已是回歸後的「黃金時代」,令人慨歎。

還是科學,心情才好一點早前談過達爾文,今天談一位鮮為人知、一般科學歷史少提及,卻影響後世極大的湯臣 (Darcy Wentworth Thompson, 1860-1948)

          湯臣於達爾文出版「物種起源」後一年在蘇格蘭出生。他在科學上的角色頗為奇特。除了是生物學家,百科全書他亦是數學家。然而,他所有著作利用的都是基本數學,不複雜。但這於當時的生物學已屬足夠,原因是那時人們已覺得,達爾文進化論欠缺量化,對科學憑證十分有用的數學和物理全然欠奉。

Darcy Thompson


    湯臣於進化論的理解上提出了不少疑問,覺得用它來解釋一些新物種的起源並不足夠。他指出數學是可行之道。
湯臣覺得生物學不可能沒有數理

譬如,他利用簡單的原理,即體形若不變,物體長度每增加一倍,面積會增四倍,體積則增八倍,指出同一物種情況下,肢體的長度會依據重量的立方根變化。但肢體長度不可能無限增大,因為受到負荷的限制,故此我們看到巨型恐龍脊椎呈弓狀的變化 (人類直立進化過程中大腿骨的變化亦然)。另一方面,昆蟲只有外殼而無脊髓,體積過大令外殼無法負荷。故此電影中出現如人般大的巨蟲,根本是無稽之談。

劍龍彎曲的脊柱


湯臣又拿蜂巢的形狀作例。雖然現在來差不多已是老生常談,他指出蜂巢的六角形非源於蜜蜂的智慧或是出自神靈之手,而是由於六角形所須的物料最少:四方形須更多蜂蠟才可製造同樣大的空間,圓形或八角形均會出現無用的空隙,而球狀立體結構則容易崩塌。

又,有殼的動物,生長模式只有兩個途徑。一是如蟬或蝦等,成長時體積變大,要殼並長出新殼方可;二是如鸚鵡螺 (chambered nautilus) 般,螺旋角度(spiral angle) 持不變,全靠不停地增建

「流線型」(streamline) 這一詞據聞也是出自湯臣的手筆。他指出魚的形狀受其作息的環境影響:形狀無非是為了效率,能減低湍流 (turbulence),便能游得更快。可以說,魚的形狀是水造成的。


 20度角斜切



以上的圖令人印象深刻。湯臣繪製的這些圖,足足比較電腦設計早了超過半個世紀。魚(及所有生物)的形狀,並非隨機隨意,而是源於數學。

如果進化論減少了造物者的角色,那麼可以湯臣更進一步,將生物過程簡化為數理,而數理盤古開天時已然存在 (人類只不過是發現者)

達爾文的進化論,其實是歷史。物競天擇,適者生存,最新的主宰是人類。湯臣則覺得生物學上,時間的意義不大。他指出,在數學和物理的框架下,我們毋須考慮時間:生圓形、筒形或橢圓形的力,昨天和明天都是一樣。現在看到的冰晶,跟盤古時的冰晶無二致。遠古翼龍的飛翔不會比現今的信天翁來得差;同樣,遠古的魚泳術也不會比現今的魚遜色。

湯臣對數理的執著,後世十分極大。他的信徒包括大名鼎鼎的圖寧、赫胥黎、李維史陀等,其影響力也廣涉其他領域如建築設計,其中表表者有柯比意、凡得羅等。他離世後五年,克拉克及華生發現基因的雙螺旋結構,是生物學量化過程的一大步。

近年有科學家利用分形理論 (fractals),解釋1930年代生物學家 Max Kleiber(1893-1976) 提出、一直令人困擾1/4定律(即哺乳類動物中的不同物種,平均成年動物重量每增加一倍,心跳律減慢約1/4,壽命因而長一點)4這個神奇數字,除包含體積的三維空間外,第四維便是與分形有極大關係的體循環系統,如血管、支氣管不過這都是後話了,有機會再談。



14-12-2018

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參考:

1.     O.B. Hardison, Jr., Disappearing through the skylight – Culture and technology in the Twentieth Century, Penguin Books, 1989.

2.    G. West, Scale – The universal laws of life and death in organisms, cities and companies, Weidenfeld & Nicolson, 2017.

Tuesday, November 27, 2018

One Cut of the Dead


網誌:屍殺片場

           

            日本電影「屍殺片場」,長度約90分鐘。最初半小時觀眾反應並不熱烈,然而到後來的60分鐘,氣氛完全不同。本文嘗試用簡單邏輯,解影片何以引人入勝。

電影的是電視台要拍一個30分鐘、以喪屍為題的劇,唯一的限制是 one take 自始至終一個鏡頭完成,造成直播效果。現在討論的只是戲中戲的電視劇的最後幾秒,按電影的法,是如何完成的。希望不會透露主要的劇情。

電視劇的最後幾秒 (即電視觀眾看到的結局,亦即電影30分鐘左右),是女主角在平房屋頂上仰望凝視鏡頭,攝影司用了俯鏡。

電影30分鐘後,便開始透露該電視劇是如何拍的。原來電視劇拍到最後,節外生枝,本來置於屋頂上的攝影機起落架,意外墜壞了,看來最後幾秒的片段要泡湯了 (電視劇觀眾當然不知道)

於是,因為是 one take,在場的製作組便一方面著演員們在鏡頭前拖延時間,另一方面則急忙指揮其他沒出鏡的演員、臨記和工作人員立即疊羅漢,十幾人幾經艱苦將攝影司撐起,才能拍下最後幾秒,完成整個電視劇。到這裡,工作人員也投入了,成了演員一分子。

電視劇觀眾當然也不知道有這驚險的情節。

最妙的是,於結尾播出工作人員名單時,電影又展示「最終」的現實:原來那幾秒鐘的片段,攝影司只是騎在一把鋁梯上便完成了。


於是,電影告訴我們,那幾秒鐘的片段,原來共有四個層次:意外前、意外後、再意料之外、才有所謂「現實」。

然而,這一切一切,都是在劇本之內!

據聞,此電影成本十分低。但大收旺場,戲院笑聲不,十分罕見。

其實,寫劇本的過程並不簡單,因為劇作家要不時提醒自己,是那一個層次、那些演員、臨記、甚至工作人員須出鏡 (當然包括戲戲外均為導演的導演!)、那些人須角色調換等等,不可混淆

表面上看似是喪屍胡鬧劇,幕後其實要求嚴謹、製作繁複。





28-11-2018

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Friday, November 16, 2018

Nolens volens


網誌:無奈

           

            為藝術學院的功課配樂,找來了蕭邦的「告別」圓舞曲 (Valse de l’adieu, Op. 69, No. 1) 練習一下。原來這曲是有典故的。

1835年,蕭邦(1810-49) 25時創作此曲,獻給一位比他年輕九年、名叫瑪利亞的女子 (Maria Wodzinska, 1819-1896)。傳聞瑪利亞美貌不可方物,裙下追求的不乏權貴。可能是情有獨鍾,當年她為蕭邦手繪肖像,畫中的他神情舒泰、若有所思。翌年她母親容許他倆訂婚,但其父卻以蕭邦健康不佳為由反對,於1837年解除婚約。


作曲家很少為所作音樂命名,「告別」這名字似是後人加上的。然而,樂曲確有一股無奈、慨歎,似乎預示對婚事並不樂觀。

樂曲是作曲家死後,由其好友、波蘭音樂家Julian Fontana (1810-69) 穫授權出版樂譜上Fontana標示的速度是徐緩 (lento, ¼=138)

然而,近來網上卻出現了對此曲真實速度的疑問。提問一方的論點是蕭邦對其所有樂曲標示的速度十分執著,其子弟學習時一定要以琴頭上的拍子機為依歸,分毫不差。於是問題便在曲譜上三幾處有裝飾音的地方出現。下面的裝飾音片段便是要求在兩拍奏出12個音符。


如果速度依照標示,在這幾處有裝飾音的地方因為要完整奏出,節奏便要慢下來 (即比較標示速度還要慢),於是違反了作曲家的原意。而網上所聽所見,多位大師在這些地方也是慢下來。那豈不是他們全錯了?

有論者推測,樂曲的速度是作曲家去世後才加上,會否有手民之誤?於是有人(我也有)嘗試以半速 (1/8=138)彈奏,結果變成了龜速,不忍卒聽。

可惜當時未有錄音機,否則一切好辦。

那麼,有真相嗎?真相(或接近真相)Fontana既與蕭邦同年、同,亦是好友,曾多次聽過蕭邦的演奏,亦在作曲家面前多次彈奏過其作品。他標示的樂曲速度不應有錯。

有錄音有真相,網上有波蘭鋼琴家 Raoul Koczalski (1884-1948) 留下的演繹。Koczalski師承蕭邦的入室弟子及教學助理Karol Mikuli (1821-97)Mikuli編纂蕭邦作品態度十分嚴謹(但不包括這首圓舞曲),他的筆記詳細記錄了蕭邦授徒時所的評語,亦包括對聽過蕭邦表演的不同見證人的採訪記錄,多年來一直是蕭邦作品的根源權威。

好,我們就聽聽Raoul Koczalski: https://youtu.be/KYyp8HhGNuQ





16-11-2018

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〔註〕有關Koczalski跟隨Mikuli學習的情況,可參考以下連結的描述https://youtu.be/-Ti6c6bhdTE

Wednesday, October 31, 2018

When will Cantonese die?


網誌:廣東話何時湮沒?

           

       早前教育局長豪言壯語: 「全世界學中文,有哪些地方用廣東話學?」

剛好自己在問:廣東話在香港何時湮沒?相信解答這疑問,便能推測局長背後的思量。

按統計處資料,2016年以廣東話(廣州話)為慣用語的佔人口約九成(89.4%)我們可以,這百分比跌至50%時,廣東話便是受到嚴重威脅。

究竟這時刻何時出現,可以用粗略方法算出。於是,我用Excel寫下了簡單的程式。利用Excel或類似軟件,有其好處 (下文有討論)

以下是一些基本資料 (來源:統計處) 及假設。

a) 2016年總人口734萬;

b) 廣東話人口90%,普通話人口10% (假設其他語言可忽略,不過程式容許用任何其他百分比計算)

c) 每年出生人口6(當中長大後慣用語以上述(b) 的百分比計算)d) 每年死亡人數4.7萬;

e) 移民全來自地;

f) 每年地移民6,當中5.5萬為常規移民(即每天名額150) ,另0.5為「專才」移民。後者包括「輸入地人才」、「優秀人才入境」、「非本地畢業生留港/回港就業安排」三類計劃,每年人數約1.5萬,現假設其中三分之一(0.5萬人) 長遠留港。[註一] 同時亦假設地移民慣用語全為普通話;

g) 總人口不設上限,即是容許其超出統計處2016年推算的821萬高峰。這假設是基於統計處的推算偏於保守,例如醫療進步會推高平均壽命,更多外來人士留港居住等。(當然,程式也容許總人口上限的設定。)

    以上的假設,均盡量傾向保守((g) 除外,下文解釋理由) 例如,所有移民均來自地、他們均以普通話為慣用語、亦不計及由於教育或工作原因而改以廣東話為慣用語等事例。

利用程式,便可算出每年出生人口長大後慣用語的分布,死亡人口慣用語的分布等,從而可推算下一年開始時人口的慣用語的分布。

以上任何數字均可在程式上修改。好處是,例如可將出生、死亡、移民留港人數等上下調整,從而評估得出的結果對那些因素較為敏感。



    得出的結果是,廣東話湮沒 (即廣東話為慣用語人口佔比低於五成),最少也須要半個世紀。以圖中的計算為例(即出生人口每年遞減1000,死亡人數維持不變),要待91(即下世紀)。微調以上一些假設數字(例如將每年死亡人數推高),發覺結果也無大變化。原因很簡單,要數百萬人(現時為650萬人) 轉用廣東話,以一直以來的自然替換速度,不是朝夕的事。

       明乎此,大家便知道政府為何為「普教中」等語言政策議題顯得特別焦慮。

也明白為何以前不設限容許投資移民 (2003 年至2015 年人數為三萬多) 要待至樓價飛升,群情洶湧時才急急叫停。

也明白政府本身也不相信統計處八百多萬人口預測上限 (否則根據現有土地資源,根本無須填海造地),於是急不及待未經諮詢便將1000頃填海土地平白加至1700 [註二]


 

1-11-2018

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[註一]:「輸入地人才」計劃,根本上是申請機構了算政府批核權力十分有限,可是「無掩雞籠」。

[註二]:這裡當然有脅迫發展商的意味。

Friday, October 12, 2018

Zero radiation?


網誌:零輻射?

        數年前政府有關高鐵的謊言,隨著高鐵的開通,現在一一兌現。想不到又來人工島的大白象,在從無諮詢情況下,竟白白多了700公頃,不用說,新一輪的謊言又會陸續登場!

今天要說的是日本福島的輻射水平大家都知道2011年該區受海嘯襲擊,發生嚴重核事故上月有報導,有在該處核電廠工作人員患癌死亡近月日本當局四處走訪宣傳,強調該區出產的農作物的食物安全究竟,這些農作物是否安全到那裡旅遊安全嗎?

輻射影響人身健康,循幾個途徑空氣中直接照射內照射呼吸食物醫療()這些輻射不能避免,能做到的只是盡量將輻射量減低,每年不超過限額便可。從事輻射有關工作(醫療) 的,身上懸掛的胸章便是這個用途。

拿空氣中的直接照射為例,它的來源可以是太空的宇宙射線環境中的輻射環境輻射來,常見來源之一是-40,它發出的伽碼射線,一般儀器可量度到(如便攜式的蓋革器 Geiger counter,儀器還可發聲)。地球形成時它已存在,半衰期是1 251 000 000(即輻射量減半所須時間),人類短短的20萬年歷史難以與之相比。換句話說,我們自出生起便與之共存,避也避不了,同時我們身體的遺傳也反映了。

據報導,福島市的輻射讀數是 0.15 微希每小時(uSv/h)東京是0.04 uSv/h香港的讀數是多少下圖可看到香港各區的分布




可見京士柏讀數是 0.14 uSv/h與福島市相差不遠香港人到福島市辦事或旅遊,高危的地方是封鎖的,跟本毋須過慮。

     香港一般的讀數比東京高,是因為地質上多花崗岩,發出自然輻射,是地質形成時已存在。建築用的混凝土,亦會溢出輻射氣體(),新建的樓宇輻射水平會較高。如欲減低此種輻射氣體,則要盡量保持窗戶打開,令空氣流通。

至於食物的輻射安全,則從數方面把關。首先是食物地地區監控,其次是出口時的監測,最後才到香港就進口食物的抽。所以安全方面有一定保障,不用擔心。

   如果要擔心的話,那便擔心家中有沒有鉛水,還比較實際。因為鉛水安全無下限,對所有人都有影響。低量血液中少於10微克/公升的鉛也可導致兒童中毒,影響包括永久智力損傷和行為異常,有些影響更是不能逆轉的

以前我們不用擔心鉛水,因為早有法例管制,蓋的房屋沒有鉛。倒是有些新蓋的房屋出了問題,為什麼?



12-10-2018

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參考:’Lead poisoning’, Wikipedia.