A math teaser

網誌：算術一則

非IQ題。

武漢肺炎肆虐。某人求醫驗肺炎，醫生說沒有需要，因染病率僅百分之一。該人堅持，醫生於是跟他進行測試，結果不幸確診[注：確診並非代表真正染病。] 若果測試準確率為95%，那麼該人真正染病機會如何？

[提示：不少人會說是95%，但答案遠低於 95%。]

5-3-2020

〔作者保留版權〕

What use the boulder?

網誌：巨石何用

一年多前的網誌文章，提及無用的東西，例如萬里長城和巴黎鐵塔，往往會成為人們喜愛和珍惜的對象。

今天談的是一塊大石，來自一個加州石礦場，2012年來到洛杉磯郡藝術博物館，藝術家完全沒加粉飾。但為何每天總有不少人到來光顧拍照？

名為＜懸浮的巨塊＞(Levitated Mass)，大石高6.6米，重340噸，坐落一條長139米、深4.5米的坑道上，可供360度觀賞，即是可從四周，及從下仰視。

藝術家的名字是 Michael Heizer (1944 - )，屬上世紀六、七十年代「大地藝術」(land art)、以抗衡藝術商品化潮流的一代。

2006年，藝術家在石礦場碰上那塊石，便希望將它化為一件屬於城市的藝術品。幾年後，心願實現。

雖然石礦場距離博物館不到100公里，但巨塊斤兩著實不少。由石礦場至博物館的旅程，相當迂迴，總共穿過四個郡和22座城市，全長170公里。2012年，大石坐上一輛90米長、配備196個輪胎的特製貨車，開始走上這段艱辛的路。期間，須要移走不少樹木和交通燈，改變車輛路線。為減少滋擾，貨車只在晚間前進，時速僅約十公里。過程歷11天，群眾爭相觀看，傳媒廣泛報道，居民甚至舉行屋區派對，哄動一時。巨塊抵達目的地時，有逾千人在場歡迎。三個月後，安裝竣工，當年6月正式開放。

將大石搬運這麼遠，令人想起數千年前埃及法魯王為建造金字塔、勞民傷財的舉止。令人懷疑＜懸浮的巨塊＞目的為何。藝術家一般對自己的創作不發一言，總是讓人自行推敲。不過他這次總算說了兩句，指群眾須要一件宗教性的作品，又指巨塊是「靜態的藝術」，意思是它會長長久久，最少活上3500年。意味著什麼城市、什麼博物館，長始也會湮滅，唯獨大石會繼續存在。

以上僅僅是全部過程的一部分。先看藝術家的身族背景。可以說，他一直與石頭、礦場和考古地點為伍。他的一位祖父是礦物學家並身兼加州政府地質專家；而另一位祖父則負責一處金屬礦場的運作；他的父親是考古學家，曾發表古人如何搬運巨石的學術文章。

藝術家自1969年已開始構思＜懸浮的巨塊＞的概念，但所作的試驗都因巨石引起的種種技術問題而失敗告終。期間有關科技有了進步，到2006年，藝術家在石礦場碰上那帶粉紅色的巨石，重燃了心頭意念：那塊石令他聯想到古埃及的方尖碑和樂蜀附近的孟農巨像 (colossi of Memnon)。

於是事情由概念、測試、失敗、放下、再遇、到完結，足足40多年。除了藝術家本人，過程亦牽涉其他參與者 (players)：

(a)  博物館館長的遠見，以及該藝術項目進行時的所有統籌；館長亦要配合社會對博物館於公民教育及藝術發展的要求，進行相關的推廣工作。

(b) 項目全來自民間私人捐獻，總開支據說達到一千萬美元之譜；

(c)  媒體。項目從最初階段開始，已有高調的宣傳。宣傳難以避免，因為博物館總要靠擦亮招牌靠收入維持運作。

(d) 群眾。項目從最初階段開始，群眾已對項目感到興趣，亦對項目對該區的發展、就業和共融有正面期望。故此他們對項目覺得鼓舞並一直予以支持。

巨塊至今已成博物館著名景點之一 [另一景點是Chris Burden Urban Light (城市之光) ，有機會再談] 。成功之道也許令不少人搔不著頭腦，但故事告訴我們，除了社會認受，天時地利人和，藝術品創作過程或許與結果同樣重要。

當然，巨塊已存在一億五千萬年，變身展品的日子，不過是時間長河上的一顆灰塵而已。

2-3-2020

〔作者保留版權〕

參考：Wikipedia.

Is there such thing as smell art?

網誌：究竟有沒有味覺藝術？

人有眼耳口鼻，於是有視覺、聽覺、嗅覺和味覺。視聽藝術，由來甚久，近幾十年科技的進步，更出現進一步的發展。唯獨是嗅覺／味覺(以後簡稱嗅覺)，好像有點落後了。二千多年前，柏拉圖及亞理斯多德更視之低人一等。

人類演化歷史上，視、聽確實比味覺重要。這部分與感覺距離有關。好的視覺令人類可老遠看到獵物與猛獸，好的聽覺亦然，讓我們分辨遠處動物聲音和雷暴，可以趨吉避凶。嗅覺顯然層次不同。英文 I see 代表明白，I smell …. 則代表懷疑、預感，有不肯定成分。嗅覺讓我們享受好的食物，這是基本，但更重要是讓我們嗅出腐壞的食物，避免中毒，適者生存。故此嗅覺在負面感覺上較為重要。

那麼，究竟有沒有嗅覺藝術？

大家的反應是當然有。君不見我們對食物味道的追求，越來越高？我們對餐酒的要求，不是有人可以嗅一嗅，便分辨出五、六種味道，例如不同果味、香料味，甚至皮革味？我們的嗅覺雖然遠不及貓狗等動物，但也能分辨上千不同的味道，市場上單是香水種類也過千。兩情相悅，相互吸引因素之中，氣味是其一。普魯斯特(Marcel Proust) 在他的＜追憶似水流年＞內，多次提到聞到的氣味 (當然另外還有聽到的聲音)令他悠然神往。在他心深處有最一種名為 madeleine鬆餅，每次聞到它的氣道，瞬時引領他回到年少時美好的時光。

首先要指出，說視覺、聽覺藝術有長足發展，除歷史悠久外，還因為我們已經有一套頗扎實的科學系統。視覺，是指可見光，是電磁波譜內的一部分，由紅到紫，波長是由長至短(波頻則由小至大)。人們發展出不同的顏色理論(colour theory)；又發現了互補色 (complementary colours) ，俗稱「撞色」，如紅綠、橙紫，效果特別搶眼，例如聖誕飾物顏色一般是紅與綠，惹人注目。

至於聽覺，關乎音頻，由低至高，是古今中外音樂的依據。我們聽覺靈敏，僅需聽開始的0.1秒，便可分辨聲音是人聲或源自何種樂器。

因此，視覺、聽覺可以排列有序：不同顏色在光譜上有相互關係，聲音在音譜上亦然。但是，味道則不能。簡單來說，我們不能將蛋糕、拔蘭地、南瓜、樟木的味道作有系統、如鋼琴上的鍵子般排列。又例如，擺出一百款香水，讓人們依喜好排列，想像一下，結果會是一個答案，抑還是人言人殊？

還有，視聽藝術講求重複、平衡和式樣 (pattern)。音樂上的主調及其變奏，一般會數次或多次在樂曲中重視，我們不會覺得討厭，反而甘之如飴。同樣，長篇小說裡的不同情節枝節，會不時在不同地方出現並且發展，直至結局為止。就是此等重複的出現令整首音樂、小說、甚至一些詩歌渾然一體，引人入勝。同樣，我們欣賞油畫，會留意一些節奏或式樣的重現，特別是抽象畫，務求了解畫家創作的心思。

相反，嗅覺似乎與眾不同。試想，擺出五十款香味，讓你順序地嗅，你能夠一一記得嗅過的香味嗎？嗅覺特別之處，是現在嗅到的會抵消先前嗅到的，前後兩者很難成立一種關係。於是，嗅五款香味也好，五十款香味也好，很難形成一個整體的經驗，遑論將不同的嗅覺經驗譜成一件完整的作品了。困難之處似乎是如何將味道記下，並依次作一個美學的排列，令人回「味」。

另一個難處是，味道不能令不同受眾勾起同一種經驗或感覺。返回上述普魯斯特的例子，madeleine鬆餅可以帶來美好或回憶，令人懷緬，也可以引來不快，視乎不同人年少時的經歷。老實說，氣味很難和情感、愛恨、哀傷、喜悅、受苦、憐憫或懷念搭上直接關係。

話雖如此，依然有人走上嗅覺藝術一途，特別是上世紀中葉開始。譬如，60年代有人創作外形全部一樣的棋子，僅憑味道來辨別個別棋子的功能角色。70年代有人純粹用香味作其表演藝術。此後，亦有人用多個擴音機噴出不同氣味，伴以音樂。2010年代，有藝術家要求市民說出其社區的味道，並為該區一些民眾噴上這些氣味，然後著他們跟氣味不同的他區民眾談話溝通，同時也創作了社區味道分布圖。

最「臭」名遠播的例子，莫如意大利人Piero Manzoni (1933-63)嘲弄藝術之作，＜藝術家的屎＞(Merde d’Artiste)。他將自己的糞便包裝了九十小罐。1961年開售時定價為相同重量的黃金(!)，即當時的37美元。到2002年，英國泰特美術館 (Tate Gallery)購進了一罐，付了六萬多美元，還堅稱物有所值。罐子上面印有 ‘Freshly preserved, produced and tinned in May 1961’(於1961年五月新鮮保存、出產、及封罐) 。最幽默、最個人、最私密是「出產」一詞。然而，泰特的評估果真不差，因為至2008年其他一些罐子交易價已升至十多萬美元，2016年更達到四十多萬美元。

其實這位仁兄雖然命短 (僅30歲)，有關他的笑話卻層出不窮。據他說，作品靈感來自他的父親，後者曾跟他說，他的作品是屎(shit) 。由於＜藝術家的屎＞價值不菲，好像沒有人真正將之打開過，因為此舉會銷毀其價值。內裡乾坤為何，人言人殊，有人甚至猜想是石膏。這是不可能的，因為那九十個罐子中，最少一半及後自行爆炸，灰飛煙滅，擁有者血本無歸。原來當年作品封罐時，藝術家有意無意間沒有完成減菌過程，令內裡不停產生氣體，結局可想而知。

不過，這一切一切的創作，概念有餘，始終走不出嗅覺藝術受科學知識限制的窠臼。

妙想天開，要有系統地應對問題，須從簡單方法做起。第一步應該從化學開始考慮：味道之為味道，不外是一些具揮發性的有機化學物。常見的會是一些ketone (酮) 及 aldehyde (醛) 之類的化學分子。以此為基礎，可否因應此類化學分子的複雜度 (如內裡碳、氫的數目) 先作一些排列，而造出該系列內一連串的嗅覺漸變？

23-1-2020

〔作者保留版權〕

參考：Denis Dutton, The Art Instinct, Bloomsbury Press, 2009.

Art and evolution

網誌：藝術，演化

以前數次談過達爾文及其「進化論」。後知後覺，原來進化論應稱「演化論」，比較貼切。理由很簡單，進化含進步的意思，但演化(evolution) 不一定是進化、進步。舉一個例，一些地鼠演化成身上無毛、視力極差，原因是起居飲食長年在昏暗的地下洞穴內，且洞內溫度變化少，毛髮與視力均非必要。嚴復百多年前將書名譯作「天演論」，並非無因。

今天談的是，演化與藝術(廣義的)是否有關係？如有，關係為何？這問題困擾了一段時間，最近看書才有了端倪。以下是一些推斷。

人類演化過程中，出現較早、與藝術有關的，應是從發聲開始。例如哮聲，以警示同伴，附近有猛獸，或遠處有雷雨。然後進而優化發聲，藉以分辨不同族人、動物和植物，以清楚是友是敵，有害或無害等，是為語言的起始。同時，人類模仿雀鳥唱歌，創造音樂，又或創造詩歌，娛樂自己，取悅他人，及吸引異性。

其後人類發展了工具，以及造出飾物以作儀式及美化之用。工具和飾物上出現了圖案或紋刻，因為富美感可看成藝術作品。繼而是世界多處地方出現的洞穴畫，歷史遠至四萬多年前，具色彩，描繪人、手腳、不同動物、舞蹈等。

以現代角度看，許多洞穴畫都相當精美。它們能夠告訴我們的，實在不少。首先，穴居代表那時的人類已開始或完全脫離遊獵 (hunter-gatherer) 生活，毋須不時遷移以尋找食物，而開始懂得牧畜耕種。於是，在食物較充裕下，便有多點餘暇，儀式禮節人倫變得較複雜，同時又多了些生活樂趣，如講故事、模仿他人、談笑談情、舞蹈、唱和奏樂等。又或讓觀察能力較高的人專責觀天(農耕、曆法得以發展)、分析動植物特性，又或讓描繪能力較高的人創造洞穴畫，之如此類。後者(洞穴畫)的用途可以是供儀式用、說故事、供人欣賞、討論，另一作用可能是將知識傳給後進，令他們知道面對不同生物時如何應付。倘如此，此類繪畫儼然是古代的 Powerpoint了。

由於其複雜性，寫字與閱讀相信是隔了些時間才出現。(有一些部族時至今日仍未發展書寫。) 我們於是開始有記錄，開始有文字的創作，包括以後的詩詞歌賦、戲劇、話劇、音樂劇、小說等，甚至較近代的攝影、電影，等等。

說到這裡，你會問：這一切與演化有何關係？對，上述的一切與物競天擇(natural selection)無直接關係，因為只牽涉人類，而非其他物種。其實，達爾文演化論包括兩部曲：(a)第一部曲「物種起源」(On the Origin of Species，1859)，主要談物競天擇(natural selection)；而(b)第二部曲：「人類的由來」(The Descent of Man, 1871)，是第一部曲出版十二年後的力作，談的是性選擇 (sex selection)。人類的演化其實包括了(a)和(b)。

物競天擇與性選擇兩者之間的不同，基本是：前者牽涉隨機性的轉變或突變(random mutation)，及選擇性的保留(selective retention)，即是汰弱留強；後者則牽涉選擇前提上的目的／目標(purpose)，是有意(intentional)而非隨機的，是人自己的選擇。一個例，許多動物群體組織有社群領袖(alpha)，包括基因比較接近人類的猿類。領袖若是男的，稱為alpha male，壟斷所有資源，包括群體內的女性。這是許久以前的人事。相反，人類的演化至今已大不相同，一般都是一夫一妻制(除了極少數人由於社會財富傾斜仍擁有後宮三千之類的落後模式)。換言之，女性的選擇，已不止於高大威猛的男性(狩獵能手)，也可以是有才智、富幽默感的紳士了。

藝術亦有自身的演化。拿西洋畫(painting) 為例。一直以來，以實體(figurative，如人像或風景) 為主的繪畫，到十九世紀由於攝影機的出現，有必要改弦更張，於是便有十九世紀後期的印象主義，及隨之而來的後印象主義、野獸派(Fauvism)、達達(Dadaism) ……等等。(以下刪一萬字！)

現代藝術 (modern art) 的濫觴，不少人會推舉一件作品：1917年法國人杜象(Marcel Duchamp, 1887-1968)在紐約公開的Fountain。名為「噴泉」，實質是將一件現成的男士用尿兜倒懸，是嘲諷當時藝術界及藝術發展之作。時隔一百年，談論此作品的學術文章成百上千。當年許多人都覺得它不能接受，甚至厭惡。然而，當時來說，它代表著新想法；是達達主義對當時藝術界偶像崇拜和所謂權威的當頭棒喝；最重要是，它啟動了人們無限的想像和遐思。到現在，一百年後，連杜象也始料未及，根據一個藝術界的普查，「噴泉」名正言順已被認為是劃時代、革命性的藝術品了。

「噴泉」其實總結了一個觀察：藝術品根本是無用的，不能飽肚，跟生存(survival) 風馬牛不相及。但為何世上總有一班人趨之若鶩，以天價購買及收藏？ [最近，藝術新聞的頭條，莫過於義大利人Maurizio Cattelan用喉管膠紙將香蕉貼在牆上的作品，據報售出價是十二萬美元。當然，買家志不在香蕉本身，而是藝術家的名氣。]

時至上世紀六、七十年代，更開始有一些「史無前例」的大型作品，出現在富豪的大宅，由地上伸展到十米或以上的天花。除了作品本身的藝術性外，目的當然就是炫富，讓人知道他們有無盡的金錢和資源。

歸根結底，這也可算是演化、吸引異性的一部分。問題是，假如博物館擁有這類大型作品，到將來藝術不斷發展創新，推陳出新下，不再吸收眼球時，如何將它們貯藏和處置。這實在令人頭痛！

說了這麼多，不外是指出，科學與藝術其實千絲萬縷，密不可分。

17-1-2020

〔作者保留版權〕
參考：Denis Dutton, The Art Instinct, Bloomsbury Press, 2009.

Caustic network

網誌：池裡的風波

那天陽光普照下漫步尖沙咀太空館。對，就是數月前一個晚上抗爭者創意地用雷射筆造出美侖美奐激光騷那處。日與夜畢竟不同，在館外水池看到陽光下鱗鱗光影，又是另一種美。

仔細看看照片。首先，水面有漣漪 (小波浪) 。其次，池水在動(水平方向)，連帶池底的方型磚看起來變了形。令人詫異的是，為何會出現金黃色、形狀不規則、像網絡的光影？

現在嘗試解釋這現象。有波動的水面，可看作一連串的凸鏡和凹鏡。凸鏡將陽光折射，聚焦在池底，令其十分明亮。凹鏡的作用則剛好相反，光線不聚合而是散開，池底受影響的地方顯得較暗。於是水面梅花間竹的凸凹鏡，令池底織成一個明暗繽紛的網。[註1] [註2]

當然，上面僅是解釋了池底發生的事，並不代表眼睛(照相機)看到也是一樣。其實，光線到達池底會反射，回程經過水面時會出現另一次折射，期間水面凸鏡再來一次聚焦。水面突出部分看起來，便是一條條耀目的線。

大自然的光影騷，層出不窮。只要放眼留意，便可碰上。

2020年將至，祝大家安好！

29-12-2019

〔作者保留版權〕

註1: 根據下列參考，當水深為波長 (即浪尖至浪尖距離) 約五倍時視覺效果最佳。

註2: 有否留意，泳池邊水面上間中會出現類似的斑駁光影。原理基本上是一樣，只不過過程是反射而不是折射。

參考：D K Lynch and W Livingston, Color and Light in Nature, 2^nd Ed., Cambridge University Press, 2001.

Unidentified gas release

網誌：屯門不明氣體

前天文台台長、我的前上司林超英先生日前發表文章，分析了10月28日下午屯門不明氣體事件的18宗個案、報章報道和氣象條件，否定大興行動中心(基地) 是源頭。

林台長指出源頭屬規模不大，及具局部地區性。對於源頭是大興基地的說法，他特別指出位於基地西北方向的礦山村及位於西面的寶田村，均受影響 --- 在西北偏北風情況下，這些村落剛好逆風，故此基地如釋放不明氣體，不可能飄到這兩個地方。

文章細緻踏實，深入淺出，要追及實在力有未逮。

不過，要補充一兩點。不明氣體(‘氣體’)波及範圍，由北至南，達兩公里。這意味氣體本身溫度較周圍大氣溫度低，甫釋放便下沉，並循地面移動及擴散。加上當日因吹西北偏北微風，是典型秋冬之間大氣本身屬偏穩定情勢，不利不明氣體往上升並稀釋。故此氣體可移動較長距離，達兩公里後仍有人感受到。

至於氣體為何可以逆著風向前進，一個解釋是因為是微風，風越微，風向變化可以越大。[隨手瀏覽天文台網站今天(11月2日下午) 吹微風的地方，風向變化可達45度或以上(即東風轉吹東北或東南)，如此變化可維持兩三小時。但這當然解釋不到逆風的問題！] 更應注意的是，屯門地區道路兩旁不乏高樓大廈，中間做成「街道峽谷」(street canyon) ，可以改變風向風力以及氣體擴散。基地前後分別有震寰路及新福路，分別是東南／西北和東／西是向的，有機會引導不明氣體大致的東／西走向。[要研究街道峽谷效應要研究街道峽谷效應，可採用實體模型進行風洞測量，或如今較常見的電腦模擬，均需要一定資源。]

以上說法如果過得去，那麼便不能完全排除基地是源頭的說法。

當然，以上說的也可以是野人獻曝，不少亦屬臆測。畢竟，所知亦不多，例如氣體的成分。如果指我匪夷所思，我是會接受的。

始終，氣體來自民間機會不高，極有可能來自官方或相關單位。所以，解鈴仍須繫鈴人。十分同意林台長所說，要靠擁有資源的政府去追查了。

2-11-2019

〔作者保留版權〕

參考：https://tiandiyouqing.blogspot.com/2019/10/blog-post_31.html?m=1

How to pick your better half

網誌：如何選擇你的另一半

            常常聽到的故事，是一個人走進稻田，在有限時間內，找最好的一株稻米。結果是往往失望，因為愈是找尋，愈會後悔沒立下決心，最終是沒拿到最好的。

            其實，是有答案、有最佳攻略的，我們不知道而已。

            這是一宗數學題 (別擔心，本文不是談數學)。類似情況是：擇偶、鬧市找車位、買樓租屋如何決定。譬如，自己訂下三年時間擇偶，期間要應約／約見多少對象，便要作出抉擇？唯一條件是不走回頭(如可以走回頭路，見下文)。

為何中途便要做抉擇？因為如果堅持要見所有對象，初期的選擇還算容易，要做的只是如打擂臺，記下勝方作為選擇標準 (負方可以不理)，如是繼續下去。但期限越近而仍未作出抉擇，碰上最佳拍檔的可能不夠以前的那麼好了，找到理想對象的機率會越來越低。因為不能走回頭，後悔也沒用了。

這條問題，其實是如何找尋最大機會(機率)，初時提出距今幾乎一個世紀，到上世紀1950/60年代已基本算出。

            答案是37%。如上述的三年期限例子，即找對象一年多一些後便要做抉擇，找到最好對象的機率最高。又如果目標不是三年期限，而是一百位對象，那麼你便要在應約／約見第37位後，便要選擇下一位優於所有以前碰過的對象。(如果對方拒絕，下文另有答案。)

     這答案聽起來令人有點沮喪：時限還未及一半、或約會對象人數未到一半，便要下決定。而且，成功率也只是37%，即有63% 機會找不到理想對象。但是，數學告訴我們這已是最佳策略、最少後悔了。往好處方面想，對象人數越多，找到最好歸宿便越渺茫。舉例，如果對象人數是100，隨機選擇的成功率是1%，可謂十分低；人數是1000，成功率便只得是0.1%，找到心中好非常渺茫。但37%策略成功率不變，仍是37%！想像一下，1000人你僅須赴約/約會370人後，便能決定選擇比所有之前遇到的更好的一位，節省了多少時間心血？

     另一角度看，37%策略容許一些前期資料搜集。因為初時可能還未知道自己的要求，經約會數次數十次之後，才可在不同人身上找出適合自己的素質，方能在心中形成一些作為心上人的標準。

     上文提及一些變奏，例如容許「回頭看」。這情景原來早已發生在17世紀偉大科學家開普拉(Johannes Kepler)身上。1611年他喪偶，隨後便踏上尋伴的長路。到他約會了第5位女士，已覺得她十分適合。可是他科學家上身，誓要竭盡所有機會探索，結果總共見了11人，但都沒有比她好。於是回頭向她求婚，對方也不介懷，欣然接受。傳記說他們婚姻美滿，生下六名子女。

開普拉的例子，可用上文的數學方法處理。(對不起，此處開始由於社會局限下兩性依然不平等，唯有以男士觀點出發!) 須設兩個假定，一是如果遇上適合對象便立即求婚，對方一定答應；二是如果回頭才求婚，對方答應機會是50/50。那麼，數學告訴我們，最佳策略是61%。

另一個變奏是，提婚後對方可以拒絕。假定拒絕的機會是50/50，用同樣的數學方法處理，答案是25%。即尋找過程進行四分之一後，遇上適合的對象便求婚，直至有人接受求婚為止。

總結，37% 完全是反直覺，但又是最好的。世事就是那麼奇怪。幸運的是，數理往往能夠提供理性、實用的出路。        

9-1-2018

〔作者保留版權〕

參考：B. Christian and T. Griffiths, Algorithms to live by, William Collins, 2016.