網誌：雞先？蛋先？(2)
上次談及雞先或蛋先問題，意猶未盡。
今次的主角是希帕索斯(Hippasus )，生活于大約公元前500年古希臘，生卒年月不詳，屬畢達哥拉斯(Pythagoras, 約公元前570-495 )學派門生。
畢達哥拉斯學派教條之一，是「萬物皆數」。此「數」是指整數(number)； 如非整數，便是整數合成的分數(fraction，有理數)，再沒有其他了。
希帕索斯想出一個例子，輕易用畢氏定理(Pythagoras
theorem)推翻了畢氏學派這教條。
他的例子，是一個等腰直角三角形，即三角形其中兩條邊相等(設定為a) ，夾角為直角(90度)。利用畢氏定理，於是2a² = c²，c為斜邊。
假定a和c都是整數。但這是不可能的：如果a和c均為偶數，我們可以將三角形縮小一半，然後繼續下去，直至a、c其中之一為奇數。
好了，現在假定c為奇數，則c²也是奇數，但2a²明顯是偶數，故2a² = c²不可能。如果c為偶數，那麼可寫成 c = 2d，於是c² = 4p²，從而2a² = 4p²，即a² = 2p²。故此a不可能是奇數，而是偶數，這也是不可能，因上文是“a、c其中之一為奇數“。
於是，除了整數、分數之外，出現了無理數。無理數包括：√2、√3、圓周率、自然對數e等等。
希帕索斯的例子，同時又推翻畢氏學派的另一個想法。畢氏學派認為萬物皆是原子組成
(對，那時已經有原子的觀念，認為原子是所有物質的基礎，只不過當時人們覺得所有原子都是相同的)，故此所有長度均可用原子的數目來表示。問題就出在這裡 --- 譬如，我們的電腦屏幕，是由像素(pixel) 組成。然而，由於上述例子指出的矛盾，我們不可能在電腦屏幕上繪製一個完美的等腰直角三角形：一些地方須要「調整」配合，例如「直角」不可以是完美的90度；三角形的等邊不可能完全相等；三角形的邊不可能是完全直的，等等。
奇怪，古希臘數學家不太接受希帕索斯的論點。他們反而覺得，既然數字不足夠描繪一些簡單、他們視之為神聖的幾何圖形，於是將算術「降級」，將之服膺於幾何之下。當然，這不是十分正確的做法。
21-4-2021
[作者保留版權]
參考：A Beautiful Question – Finding Nature’s Deep
Design, p. 24-26, F. Wilczek,
Penguin Books, 2015.
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