Tuesday, April 20, 2021

Egg first, or chicken first? (2)

 

網誌:雞先?蛋先?(2)

上次談及雞先或蛋先問題,意猶未盡。

今次的主角是希帕索斯(Hippasus ),生活于大約公元前500年古希臘,生卒年月不,屬畢達哥拉斯(Pythagoras, 約公元前570-495 )學派門生


            畢達哥拉斯學派教條之一,是「萬物皆數」。此「數」是指整數(number) 如非整數,便是整數合成的分數(fraction,有理數),再沒有其他了。

希帕索斯想出一個例子,輕易用畢氏定理(Pythagoras theorem)推翻了畢氏學派這教條。

他的例子,是一個等腰直角三角形,即三角形其中兩條邊相等(設定為a) ,夾角為直角(90)。利用畢氏定理,於是2a² = c²c為斜邊。


假定ac都是整數。但這是不可能的:如果ac均為偶數,我們可以將三角形縮小一半,然後繼續下去,直至ac其中之一為奇數。

好了,現在假定c為奇數,則也是奇數,但2a²明顯是偶數,故2a² = c²不可能。如果c為偶數,那麼可寫成 c = 2d,於是c² = 4p²,從而2a² = 4p²,即a² = 2p²。故此a不可能是奇數,而是偶數,這也是不可能,因上文是“ac其中之一為奇數

於是,除了整數、分數之外,出現了無理數。無理數包括:√2、√3、圓周率、自然對數e等等。

希帕索斯的例子,同時又推翻畢氏學派的另一個想法。畢氏學派認為萬物皆是原子組成 (對,那時已經有原子的觀念,認為原子是所有物質的基礎,只不過當時人們覺得所有原子都是相同的),故此所有長度均可用原子的數目來表示問題就出在這裡 --- 譬如,我們的電腦屏幕,是由像素(pixel) 組成。然而,由於上述例子指出的矛盾,我們不可能在電腦屏幕上繪製一個完美的等腰直角三角形:一些地方須要「調整」配合,例如「直角」不可以是完美的90度;三角形的等邊不可能完全相等;三角形的邊不可能是完全直的,等等。

奇怪,古希臘數學家不太接受希帕索斯的論點。他們反而覺得,既然數字不足描繪一些簡單、他們視之為神聖的幾何圖形,於是將算術「降級」,將之服膺於幾何之下。當然,這不是十分正確的做法。

 

 

21-4-2021

[作者保留版權]

 

參考:A Beautiful Question – Finding Nature’s Deep Design, p. 24-26, F. Wilczek, Penguin Books, 2015.

 

Tuesday, April 6, 2021

Egg first, or chicken first?

 

網誌:雞先?蛋先?

 

本文是一些基礎討論,有科學數學根底的不須看,以省時間。

很奇怪,仍然不時聽到「有雞先抑或蛋先?」這類問題。

1) 雞先?蛋先?

答案:先有蛋。

依然有人提出這問題的背後,只有兩個可能:一是他/她不知道有「演化論」這回事;二是他/她不相信「演化論」,仍舊認為宇宙只有數千年的歷史。

            鳥類由爬蟲演化,已有許多不爭的證據。世上第一隻鳥(始祖) 來自一顆蛋,而這顆蛋是由一隻爬蟲下的。講完。

2) 0.999…… 是否等同1

上面 ……符號,代表無限。

很簡單,先將0.999…… x代表。

0.999…… = x

然後將等號兩邊乘以10,得出:

9.999 …… = 10x

再將以上兩數式相減,得出:

9 = 9x

於是 x = 1。講完。

3) 兔是否永遠追不上龜?

這是兩千多年前古希臘哲學家Zeno (芝諾,公元前約495430) 提出的一個悖論。悖論可以這樣描述:兔讓龜100米,然後一起起步。大家會認為兔會追上龜、越過它而贏下比賽。但Zeno,你們錯了,因為兔要追上龜,先要跑上100米;但那時候龜已向前走了一段路,待兔跑上這段路,龜又往前走了一些 --- 這是無休止的過程,於是兔是永遠追不上龜的。

雖然大家都知道答案,Zeno這個哲學爭議延續了二千多年,要待文藝復興後才解決。主角是牛頓(1642-1726) ,以下的時空圖是引申自他創立的動力學。


時空圖記下了龜和兔每一刻的位置,於是大家看到它們的軌跡。如果大家細心看,可以知道兔何時到達龜的起步點,何時到達此刻龜的位置 …. ,一直不停下去。但始終,龜兔兩條軌跡的相交在所難免,於是兔越過龜,贏下比賽。

其實,上述Zeno 的悖論,牽涉極限 (limit) 的概念,於文藝復興時甚至更早已有人留意到。看看上圖,便能明白兩條平行的線,我們可以往前推算,遠處盡頭便是極限(跟地圓無關) 而這極限我們是知道的 —- 就是位近圖的中央(不會是圖的上部或頂部,或其他地方)

 

6-4-2021

[作者保留版權]