Tuesday, April 20, 2021

Egg first, or chicken first? (2)

 

網誌:雞先?蛋先?(2)

上次談及雞先或蛋先問題,意猶未盡。

今次的主角是希帕索斯(Hippasus ),生活于大約公元前500年古希臘,生卒年月不詳,屬畢達哥拉斯(Pythagoras, 約公元前570-495 )學派門生。


            畢達哥拉斯學派教條之一,是「萬物皆數」。此「數」是指整數(number); 如非整數,便是整數合成的分數(fraction,有理數),再沒有其他了。

希帕索斯想出一個例子,輕易用畢氏定理(Pythagoras theorem)推翻了畢氏學派這教條。

他的例子,是一個等腰直角三角形,即三角形其中兩條邊相等(設定為a) ,夾角為直角(90度)。利用畢氏定理,於是2a² = c²,c為斜邊。


假定a和c都是整數。但這是不可能的:如果a和c均為偶數,我們可以將三角形縮小一半,然後繼續下去,直至a、c其中之一為奇數。

好了,現在假定c為奇數,則c²也是奇數,但2a²明顯是偶數,故2a² = c²不可能。如果c為偶數,那麼可寫成 c = 2d,於是c² = 4p²,從而2a² = 4p²,即a² = 2p²。故此a不可能是奇數,而是偶數,這也是不可能,因上文是“a、c其中之一為奇數“。

於是,除了整數、分數之外,出現了無理數。無理數包括:√2、√3、圓周率、自然對數e等等。

希帕索斯的例子,同時又推翻畢氏學派的另一個想法。畢氏學派認為萬物皆是原子組成 (對,那時已經有原子的觀念,認為原子是所有物質的基礎,只不過當時人們覺得所有原子都是相同的),故此所有長度均可用原子的數目來表示。問題就出在這裡 --- 譬如,我們的電腦屏幕,是由像素(pixel) 組成。然而,由於上述例子指出的矛盾,我們不可能在電腦屏幕上繪製一個完美的等腰直角三角形:一些地方須要「調整」配合,例如「直角」不可以是完美的90度;三角形的等邊不可能完全相等;三角形的邊不可能是完全直的,等等。

奇怪,古希臘數學家不太接受希帕索斯的論點。他們反而覺得,既然數字不足夠描繪一些簡單、他們視之為神聖的幾何圖形,於是將算術「降級」,將之服膺於幾何之下。當然,這不是十分正確的做法。

 

 

21-4-2021

[作者保留版權]

 

參考:A Beautiful Question – Finding Nature’s Deep Design, p. 24-26, F. Wilczek, Penguin Books, 2015.

 

Tuesday, April 6, 2021

Egg first, or chicken first?

 

網誌:雞先?蛋先?

 

本文是一些基礎討論,有科學數學根底的不須看,以省時間。

很奇怪,仍然不時聽到「有雞先抑或蛋先?」這類問題。

1) 雞先?蛋先?

答案:先有蛋。

依然有人提出這問題的背後,只有兩個可能:一是他/她不知道有「演化論」這回事;二是他/她不相信「演化論」,仍舊認為宇宙只有數千年的歷史。

            鳥類由爬蟲演化,已有許多不爭的證據。世上第一隻鳥(始祖) 來自一顆蛋,而這顆蛋是由一隻爬蟲產下的。講完。

2) 0.999…… 是否等同1?

上面 ……符號,代表無限。

很簡單,先將0.999…… 以x代表。

0.999…… = x

然後將等號兩邊乘以10,得出:

9.999 …… = 10x

再將以上兩數式相減,得出:

9 = 9x

於是 x = 1。講完。

3) 兔是否永遠追不上龜?

這是兩千多年前古希臘哲學家Zeno (芝諾,公元前約495至430年) 提出的一個悖論。悖論可以這樣描述:兔讓龜100米,然後一起起步。大家會認為兔會追上龜、越過它而贏下比賽。但Zeno說,你們錯了,因為兔要追上龜,先要跑上100米;但那時候龜已向前走了一段路,待兔跑上這段路,龜又往前走了一些 --- 這是無休止的過程,於是兔是永遠追不上龜的。

雖然大家都知道答案,Zeno這個哲學爭議延續了二千多年,要待文藝復興後才解決。主角是牛頓(1642-1726) ,以下的時空圖是引申自他創立的動力學。


時空圖記下了龜和兔每一刻的位置,於是大家看到它們的軌跡。如果大家細心看,可以知道兔何時到達龜的起步點,何時到達此刻龜的位置 …. ,一直不停下去。但始終,龜兔兩條軌跡的相交在所難免,於是兔越過龜,贏下比賽。

其實,上述Zeno 的悖論,牽涉極限 (limit) 的概念,於文藝復興時甚至更早已有人留意到。看看上圖,便能夠明白:兩條平行的線,我們可以往前推算,遠處盡頭便是極限(跟地圓無關) ,而這極限我們是知道的 —- 就是位近圖的中央(即絕不會是圖的上部或頂部,或其他地方) 。

 

6-4-2021

[作者保留版權]

Saturday, March 13, 2021

A countryside in Hong Kong

 

網誌: 大生圍手記

長文慎入!

這篇文章是應「藝術到家」的邀請,替由香港觀鳥會牽頭、在新界大生圍舉行的<塘食源野藝術節>撰寫,掛名「文字人」,實在是浮光掠影。

“魚塘” 、“村屋”、“塘面如鏡”、“睇日落” 、“水天一色” 、“白鷺飛過…. 靚絕”,這似乎出自導賞員口中的說話,你會誤以為代表大生圍的蘭姨也會如是說。

一百位訪客中,可能有九十九位會認同以上對大生圍的描寫。甚至有人不相信這竟然是香港。在網上看到數年前的沙龍照,充斥著伴隨那裡魚塘的顏色鮮豔小屋。

大生圍位於新界西北后海灣地區範圍內。位處后海灣地區中央的是米埔沼澤區,而該沼澤區的大片濕地,為不少水鳥及候鳥中途停留的熱點,並同時養活多種生物。由於這些原因,該沼澤區連同后海灣內灣及四周部份魚塘於1995年被列為「米埔內后海灣拉姆薩爾濕地 (Mai Po Inner Deep Bay Ramsar Site)。濕地以外五百米範圍的后海灣其他地區則被列為后海灣濕地緩衝區,用意是保護拉姆薩爾濕地的生態完整。

 大生圍位處米埔的西南,屬上述緩衝區的一部分。緩衝區內大部份為鄉村,村內有大小不同的魚塘和及基圍,從前村民皆以養魚或耕作為生,但隨著社會發展,已今非昔比,部份村落已經荒廢,而餘下的亦已失卻漁耕的特色。大生圍算是異數,仍然有不少村民居住,操作魚塘的數目達數十。

大生圍的知名度,數年前登上高峰。那是拜那年天氣較乾罕所賜,抽乾了水的魚塘經過曝曬,產生龜裂,在這式樣上又點綴著不規則、不同大小的圓坑。當時的新聞報道、網上貼文,驚嘆之餘並稱之為月球、火星地貌。

查實,龜裂產生的六角形狀(也有四角、五角狀的),是泥土失卻水分後的物理現象。過程就是如何以最少物料填滿最大面積:我們常見的例子是肥皂泡、蜂巢等,均為大自然最經濟實用的安排。至於龜裂式樣上間中出現的圓坑,則是由鯽魚早前產卵時形成的。先天缺水的地方(如月球),絕不會出現那些所謂地貌。

那次事件經報道後不久,一天內竟有二百多人蜂擁而至,部分帶來大小攝影器材、腳架,擾攘一番。有些對環境並不友善,隨意踐踏,處處遺下廢物。村民當然不習慣如此場面,頗有反應。

反應的結果,可間接在網上觀察覺得到。那些顏色小屋的照片,近幾年好像是減少了,甚至消失。(僅餘的一、兩間,未入村時可見到,相信目的是讓人知道,不用入村也可拍到沙龍照。) 那天在蘭姨引領下走上村公所的天台,見到好些村屋的色調已跟以往不同 --- 或是褪了色,或是乾脆換了顏色。可能村民已感到不勝其煩 --- 那天留意到,村內每出現人數稍多的陌生人,便有村民趨前打招呼看個究竟,雖然語調是溫和的。

蘭姨是長者,是大生圍村民第三代。約上世紀二三十年代,村民開始種植稻米。到五六十年代,部分人開始在附近的灘塗建造基圍。基圍設有閘口,借助潮汐,從外引入魚蝦苗,一時形勢頗好。然而未幾,由於人口增長,稻米生産不足,修建基圍成本又高,蘭姨十來歲時,家中生計無著,便走進市區紗廠打工。工餘時,她趕上潮流,上夜校學懂了英文。跟她談話,就像一般香港人,可中英夾雜。

圖一:蘭姨在村公所天台上

之後,蘭姨與村內人結婚,於是又回到大生圍居住和工作。

其實,現在的大生圍不是以往的大生圍,而是昔日村民暱稱的「玻璃圍」,偏處原村的一隅。事緣七十年代,村內魚塘農地為發展商大手收購,建成五千多幢洋房的「錦繡花園」。原村民被迫搬遷,由發展商在玻璃圍的一塊土地興建石屋,以安置他們。

在此,不得不披露一件往事。原來我,出於年少無知也好,出於浪漫情懷也好,出於一嘗開荒牛滋味也好,竟然曾經住進錦繡花園並待了幾年,又竟然對周遭發展的來龍去脈一無所知。惟獨因工作關係接觸到一些文獻,知道那裡既屬低窪地帶,建造大量混凝土工程的後果,必然是將雨水排放到鄰近地區而引發水浸。政府嗣後改善受影響地區的防洪設施,遂從魚塘中挖掘河道,隔著河遠一邊是南生圍,河這一邊便是現時的大生圍。

這裡,我就像那些不知就裡、人云亦云便闖入魚塘遊覽拍照的不速之客,或多或少難免被指控為破壞過程中的一分子。

緣起緣滅,「闖入」,我們會想起鄉郊入侵城市,越來越多人從鄉郊走進城市,是全球大趨勢。大生圍村民面對的情況卻是逆向,是城市入侵鄉郊。面對城市人、社會上層建構由上而下從摩天大廈俯瞰地面如螻蟻的人群,無論前者如何苦心為城市發展作規劃政策 (strategy) ,村民、下層蟻民只能從下而上仰視,從而總會我行我素,就一己所需,走出獨特的途徑。這與生存無關,而是久而久之,每人都因為感受到來自現代化城市的壓抑,而潛意識地尋找應對策略 (tactics) ,務求創造物理和心理空間以表達自己或證明自我存在。[1] 於是面對城市來的遊客、拍友,村民的對應就如上述 --- 減少曝光率,轉低調,對入村的陌生人表達較多關注。

大生圍幾歷從泥灘到稻田,到基圍,魚塘經營,足有百年。(期間也有村民經營過遊樂場、工廠、車場、貨櫃場等,不贅。) 未來,面對的挑戰不少;長遠來說,不少人會擔心圍村[c1] 的將來。

上世紀七十年代村民遇上迫遷,搬到原村的一隅,當時有百多戶,現今餘七十多戶。蘭姨的五名子女中,只有一人住村內 --- 早前蘭姨抱恙,也是親人從外駕車入村接送入院。另一位村民根叔,九十多歲,待客十分熱情。他擁有數個魚塘,除了日間有一名助手擔上飼養魚蝦的粗活,其餘時間起居飲食,就只得自己一人,他的子女孫兒都不住在村內。每被問及他們,根叔都顯得不熱衷。他的屋外顯眼地掛了幾幅寫上紅字的白幡,訴及其魚塘產業,令人感受到他的財產正受到威脅。


圖二:根叔屋外掛著哭訴的白幡

另一項挑戰,則是魚獲的銷量有限。受財力所限,漁村的產出難與人競爭。雖云其魚塘經漁農自然護理署認證,魚獲亦有「優質養魚場計劃」的標籤,但價格上仍需與質量及不上的比拼。由於銷量不高,有些售賣點更將漁村的出品與外地入口貨一拼販賣,令村民徒呼奈何。

這在在都是替大生圍的持續發展劃上問號。村民面對的都是實際問題,每一步均費思量,因牽涉到取捨、平衡。

其實,不速之客,除了遊客、拍友以及我等城市人,還有水鳥及候鳥。一直以來,魚塘是它們尋找食物的好地方。對村民來說,它們當然是不受歡迎的天外來客,不時在消費村民的魚獲和魚苗。這矛盾、利害衝突如何解決?

那天拜訪根叔途中,看到村民正用機器將魚塘的水抽走。原來,2012年起,香港觀鳥會在新界西北展開「香港魚塘生態保育計劃」,與當地養魚戶合作管理超過六百公頃的魚塘。參與計劃的養魚戶需在一年內,將魚塘的水位降低並維持至少七天,提供淺水環境方便雀鳥在魚塘內覓食,同時不得設置任何危害牠們的裝置。完成協議後養魚戶可獲得定額管理費用。

這是經過斟酌、權衡後雙贏的安排。養魚戶得到補助,又可與雀鳥共存,達到保育目的。將魚塘的水位降低,原來已是既定動作。每年收魚獲之後,養魚戶便會放水曬塘。待魚塘的水抽乾後,便挖深及曬塘,讓太陽光的紫外線消除塘底的魚糞細菌,為下一造養殖作準備。

圖三:村民利用枯樹造的作品,供放置物品

那天觀賞魚塘,看不到顏色鮮豔的小屋。代之而起的是散落在阡陌上,三數件不甚顯眼的「藝術」小裝置。這些小裝置不乏吸引力,路過的人會停下來,推敲它們是什麼、如何製成、目的為何。原來有部分裝置出自村民手筆,有部分則是村外藝術家的作品。後者由於就地取材,也回歸土地,拍攝記錄之後大多湮沒於大自然。所有作品或具實際用途,或隱喻社會現實,有些更不過是玩味性質。總之,令人趣味盎然。

圖四:椰殼造的碗,蘭姨的家翁手製,雕刻細緻

最令人駐足的,是魚塘間較廣袤空間上、從遠處便可看見的一幢孤獨小屋 --- 藝術家繪的風景畫,佔上整塊牆壁,與近在咫尺的魚塘景色相呼應。風景畫選色並不煽情,沒有喧賓奪主,反而隱隱地透出一絲低調、令人遐思的氣息。自忖,這不就是漁村這幾年來的縮影?

圖五:藝術小屋

原來,2018年以來,觀鳥會便與「藝術到家」合作,結合了藝術與生態保育,讓大眾了解本地漁業及魚塘生態的重要。除了以上提及的藝術品創作,活動還包括藝術家駐村、戶外藝術展覽、生態導賞、工作坊等,並舉行每年一度的魚塘藝術節,村民亦有參與。此外,亦曾將部分作品和文獻紀錄帶回市區,進行展覽,以廣傳藝術可與生態保育融合的信息。

對了,魚塘、顏色小屋是上層建構和媒體有意無意間吹捧的對象。漁村過去給人的印象,異化成為「奇景」(spectacle),成為傳媒、宣傳和普及文化消費的一部分,出現一種主僕、控制/被控制的關係。[2] 這幾年村民們所做的,包括引進保育和藝術,不外是對上述奇景的一種自然反應。

初來漁村,會覺得村民有些拘謹。不用說,建立友情,不是一時三刻的事,遑論一般遊客、拍友、或是蜻蜓點水式的人(如我)。這幾年,透過磋商、合作,觀鳥會和藝術工作者已明白村民們內心怎樣想,並已有一定相互理解。遇上熟悉的面孔,村民路過會打招呼,又停下來問候一兩句,甚至有村民準備飯菜,擔心他們只顧工作而餓壞肚子。你也會聽到準備入村的工作人員,為著帶些什麼手信給村民而躊躇,因為他們受到的款待,實在難以回報。人員入村,往往匆忙得只有半天,但總會有人爭取些少時間留下來與村民聚舊。這在在體現了一份現今社會罕見的情誼,大家都暗自珍惜。

這裡與城市很不同。城市人口多,但在街上,難得與路過的人說兩句。村裡人少,然而任何人都跟你打招呼,說不定談上半天。在村內,你可以孤獨,但不會被遺忘,不會感到寂寞。

我誠心祈求他們將來不再受無謂的干擾,能夠坦然的挺下去。


14-3-2021

參考:

[1] M d Certeau, The Practice of Everyday Life (Chapter VII - Walking in the City), University of California Press, 2011.

[2] G Debord, The Society of the Spectacle, Zone Books, 1995.

 


Sunday, February 28, 2021

Old memory

 

網誌:逝水年華

 


翻查舊文件,發現這幀照片,是經過複製的,原來的照片已找不到。

照片中,坐著的是我,站著的是三位學生。

照片告訴我們當時的外表和服飾。那些年,褲管是上窄下闊,像掃帚,叫作喇叭褲。男生的頭髮都是長長的,當老師的我,也不例外。但既為人師表已收斂了些:早些時的嬉皮士、披頭四年代,髮長可以及肩。眼鏡是厚厚的,超薄鏡片仍未普及。

是1977年,與一年一度的校際音樂節有關。

我剛進長沙灣天主教英文中學任教不久,主打數理。記得有天午飯後早了些回校,在鋼琴前亂敲了一些調子,便誘發了整件事。

事緣當時經濟正在起飛發展,該區學生的背景一般不富裕。他們未如港九一些名校或貴族學校學生般,能懂最少一件樂器。欠缺資源下,只能「睇餸食飯」。故他們的「樂器」,就只得兩款,都是成本低,甚至零成本:一是口琴,二是噪子,即歌唱。是故,縱使學校設有鋼琴,卻欠鋼琴手,於是找了我濫竽充數。

            當音樂老師的是容可度,中文大學畢業後領獎學金負笈意大利深造,並以第一名成績畢業。

1976/77那一學年,恰巧就給他發掘了三位極具天分的歌手,並悉心栽培。

會場不設擴音器(咪) ,而同學們身型瘦削,你或會對他們的能力生疑。但不要少覷,他們一開腔,聲音可能未如洪鐘,卻會令人吃了一驚,歌聲竟可以輕易充塞了整個禮堂,並產生迴響。

     記憶中,三位同學參加的項目屬古典音樂組別,音樂節上均得了獎或點名稱讚。

照片中最右面的一位,成績最突出,兩項古典樂曲比賽都取得第一名。不少早一輩的人想必知道是誰,因為他畢業後投身演藝界,打出一番天地。

     當年,是容老師首次帶領學生參賽,評審團全屬外藉,以示公允。同場有不少出自名師的參賽者,氣氛肅穆。強敵環伺之下,跑出的竟然是寂寂無名的大冷門,出人意表。

那天,他選擇不出鏡。大抵是經年埋首耕耘,如今吐氣揚眉,心底裡開心已足夠了。

往事如煙。

 

 

1-3-2021

[作者保留版權]

 

有關容可度老師近年的活動:https://www.sfac.edu.hk/alumni/yung_music/yong_music.htm